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Somos estudiantes de 1er año cursando Matemática 2, II Semestre
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA SISTEMAS COMPUTACIONALES
LICENCIATURA EN REDES
LICENCIATURA EN DESARROLLO DE SOFTWARE
INTEGRANTES:
- Leysi Bonilla
Luz Valdes
Julio Quintero
Carlos
Yilka Rangel
FACILITADORA:
THANIA GONZÁLEZ
4. Aplicaciones de la derivada.
4.7. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos.
4.8. Trazado de gráfica de funciones.
4.9. Problemas de optimización.
4.7
CRITERIO DE Definición de Extremos
El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman también el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo.
Definición de Extremos Relativos
- Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonce f(c) se llama un máximo relativo de f.
- Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f.
- Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.
- Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
- Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.
(i) Si f”(c)<0 → f(x) tiene un máximo relativo.
(ii) Si f”(c)>0 → f(x) tiene un mínimo relativo.
(iii) Si f”(c)=0 → no se puede concluir si f(x) tiene máximo o mínimo.
Demostración de (i) es una tentación decir que, como f"(c)<0, f es cóncava hacia abajo cerca de c y por tanto, concluir que esto demuestra (i). Sin embargo, para asegurar que f es cóncava hacia abajo en una vecindad de c, necesitamos que f"(x)<0 en esa vecindad (no solo en c) y nada en nuestra hipótesis garantiza esto. debemos ser un poco mas cuidadosos.
Ejemplo 1:
De este modo, al derivar la función derivada
resulta que
que es justamente el valor de ‘t’ en donde la derivada S’ (t) tiene un valor extremo (mínimo), es decir, es el valor de ‘t’ en donde se presenta el punto de inflexión (o puntos de inflexión si ‘t’ tomara varios valores).
Para hallar la abscisa del punto de inflexión, se sustituye t = 4 en la función original
El director de una determinada empresa editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho ingreso?
Planteamiento.
¿Cómo crees que se calculan los ingresos?
Los ingresos se calculan multiplicando el precio de articulo vendidos, así
Supongamos que ‘x’ representa el numero de pesos en que se incrementa el precio del libro, entonces.
20 + x es el nuevo precio del libro
400 x es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que aumenta el precio
10,000 – 400x es el nuevo numero de ejemplares vendidos.
Esta función, I(x), recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que se requiere optimizar.
Solución
Ahora, se debe aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante.
La derivada de la función I(x), es
o bien
y por tanto
Como el criterio de la primera derivada indica que se debe derivar la función en estudio, y dicha función es ya una función derivada, entonces, se tiene la derivada de una derivada, y de aquí que se le llame como: ‘criterio de la segunda derivada’.
S’ (t) = 3 t ² – 24t + 3
Se obtiene queS’’ (t) = 6t – 24
Al igualar a cero esta ultima derivada, resulta que
6 t – 24 = 0
y al despejar ‘t ‘ quedat = . 6
24
o seat = 4
que es justamente el valor de ‘t’ en donde la derivada S’ (t) tiene un valor extremo (mínimo), es decir, es el valor de ‘t’ en donde se presenta el punto de inflexión (o puntos de inflexión si ‘t’ tomara varios valores).
Para hallar la abscisa del punto de inflexión, se sustituye t = 4 en la función original
S ( t ) = t 3 – 12t² + 36t – 20
asíS (4) = (4)3 – 12 (4)² + 36 (4) – 20
o bienS ( 4 ) = –4
Por lo que el punto de inflexión se encuentra en PI (4,–4)
Como puedes apreciar, la concavidad de la curva antes del punto de inflexión es negativa y después del punto de inflexión es positiva.
A partir de la segunda derivada de la función del problema anterior,
S’’ ( t ) = 6t – 24,
Completa la siguiente tabla.
Como puedes observar, la segunda derivada de la función antes del punto de inflexión, (t = 4), es negativa, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es negativa en ese intervalo (– ∞ < t < 4). Así también, la segunda derivada de la función después del punto de inflexión, es positiva, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es positiva en ese intervalo ( 4 < t < ∞ ).
4.8
TRAZADO DE GRÁFICA DE FUNCIONES.
4.9
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas matemáticos donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.
Es quizá la parte más importante de una teoría, es la aplicación que se hace de ella, el concepto de derivada, en esta ocasión trataremos una aplicación, ésta es la solución de problemas de optimización.
Ejemplo.
El director de una determinada empresa editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho ingreso?
Planteamiento.
¿Cómo crees que se calculan los ingresos?
Los ingresos se calculan multiplicando el precio de articulo vendidos, así
I = (20) (10000), donde I = ingreso
Supongamos que ‘x’ representa el numero de pesos en que se incrementa el precio del libro, entonces.
20 + x es el nuevo precio del libro
400 x es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que aumenta el precio
10,000 – 400x es el nuevo numero de ejemplares vendidos.
Entonces, la función que representa el ingreso en términos del numero de pesos en que se aumenta el precio del libro, es
I (x) = (20 + x) (10,000 – 400x)
Esta función, I(x), recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que se requiere optimizar.
Solución
Ahora, se debe aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante.
La derivada de la función I(x), es
I’ (x) = (1) (10,000 – 400x) – 400 (20 + x)
o sea
I’ (x) = 10,000 – 400x – 8,000 – 400x
I’ (x) = –800x + 2000
Al igualar a cero, resulta que–800x + 2,000 = 0
o bien–800x = –2000
o tambiénx= -2000 .
-800
x = $ 2.5
Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo ingreso.
De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo ingreso. Para calcular el ingreso máximo se sustituye x = 2.5 en la función objetivo, y resulta
I (2.5) = (20 + 2.5) [10,000 – 400 (2.5 )]
oI (2.5) = (22.5) (10,000 – 1000)
o bienI (2.5 ) = ( 22.5) (9,000)
por tanto I(2.5) = $ 202,500.00
Que representa el máximo ingreso.